典型例题

　　例题1  （1）通过折叠说明一条线段的对称轴是这条线段的垂直平分线．

　　（2）如图，剪一个等腰三角形（ ），试通过折叠判断点A是否在BC边的垂直平分线上．

　　分析  通过实验观察体会是解本题的重要途径，选择透明或半透明的纸张进行实验为好．

　　解  （1）如图（1），在纸片上随意画出线段MN，并折叠纸片，使点M与点N重合，设折痕 交MN于点O，由于OM与ON是重合的，所以 ，同理 ，从图（2）能看出 ，所以 ．

　　　

　　可见，线段的对称轴是这条线段的垂直平分线．

　　（2）折叠 ，使点B与点C重合，产生的折痕就是线段BC的对称轴．也就是线段BC的垂直平分线，这时，点A恰好会在折痕上，可见，点A在BC的垂直平分线上．

　　说明  本题涉及什么是轴对称图形和对称轴，这两个概念都与折叠有密切关系，所以折叠是认识与它们有关的问题的基本方法．

　　例题2  （1）在 中画出AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线；

　　（2）设所画的两条垂直平分线相交于点O，则由点O在AB的垂直平分线上，可以知道哪两条线段相等．

　　（3）由点O在BC边的垂直平分线上，又可以得到什么结论？

　　（4）由（2）与（3）的结论，在线段的相等关系方面，你一定又有新的发现，请先用等式加以表示，再用文字加以叙述．

　　（5）请对所画的图形做进一步探索，得出新的猜想或发现．

　　分析  题目涉及三角形中两条边（两条线段）的垂直平分线，自然应该想到“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”．这也许只能保证顺利回答（2）、（3）两问，对后面的问题应随着前面问题的解决再做进一步分析．

　　解  （1）见图．

　　（2）连结AO、BO，则有 ．

　　（3）连结CO，则有

　　（4） 三角形中两条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．

　　（5）猜想一：点O也在边CA的垂直平分线上．

　　猜想二：设AC边的中点为M，则直线OM就是AC边的垂直平分线．

　　说明  本题最后一问没有确定的答案，若猜想到三角形三条边的垂直平分线相交于一点，也是很善于思考问题的表现．

　　例题3  （1）画一个锐角或钝角，用O表示它的顶点，并且利用量角器画出它的平分线．

　　（2）在角的平分线上任取一点P，并画出点O到角两边的距离，用A、B表示在两边上的垂足．

　　（3）连结AB，交OP于C．

　　（4）观察图形，看图中哪些线段很可能是相等的．

　　（5）利用刻度尺验证自己的估计是否正确．

　　（6）再画一个直角，一个钝角，重复以上画图过程，进行同样的观察，看上面得到的结论是否仍然成立，以及有无不同的结论．

　　分析  题目已经很具体的规定了解题步骤，由于是要通过观察图形得出结论，所以画图及度量时都要力求准确，尽可能减小误差．

　　解  （1）、（2）、（3）如图所示．

　　（4）AP与BP、AO与 与BC．

　　（5）经度量，确实有

　　（6）如图，（5）中的结论仍然成立．

　　区别是：当所画的角为直角时，有等式 ，还有

　　说明  上面画直角的平分线时出现的特殊情况，恐怕是只画出锐角，完成本题第（1）至第（5）问是想不到的．而初学几何的人有时嫌画图形麻烦，不愿多画两个图形，这样会妨碍自己从图形中得到更多的发现与乐趣，有时还会导致“以偏盖全”的错误，比如把只有在锐角三角形中才成立的结论，误以为在任何三角形中都成立．

　　例题4  （1）画出下面图形关于直线m成轴对称的图形．

　　（2）画出同一图形关于直线n成轴对称的图形．

　　分析  要充分发挥图形的背景——小圆点的作用，这样能比单纯使用课本中介绍的方法省事不少．

　　解

　　说明  本题中的图形比课本中例题中的图形复杂得多，画图时就更需要细心．从方法上更应该多做考虑，不要把课本中介绍的方法看成是惟一正确的方法，要敢于用自己觉着可能的办法试一试．比如，能不能借助透明度比较好的纸，把图形画在应该出现的纸上，画在规定的位置上呢？可以试着画．

　　例题5  课本在介绍了画轴对称图形的一种方法之后，指出“画轴对称图形，这只是图案设计的一种方法”．其实，设计轴对称图形的方法也并不只是课本中介绍的一种．

　　把几个轴对称图形，或者关于某条直线成轴对称的几对图形适当进行组合，也是设计轴对称图形比较常用的办法．下面是几个这样产生出来的轴对称图形的例子．

　　 （1）上面几个轴对称图形都是几个轴对称图形组合的产物，但具体做法又可以看做是两种不同情况，请指出是哪两种情况．

　　 （2）请按本题说明的途径设计两个轴对称图形．

　　 分析  （1）第①个图形可以看做是使两个轴对称图形的对称轴重合，并调整它们的相对位置形成的，第②个图形可以看做是由几组成轴对称的图形（具有相同的对称轴）合并而成的．

　　 第③个图形应该看做是在一个圆形上“挖掉”了两个“○”从而形成的．

　　 图形④既可以看做是轴对称图形及成轴对称的图形相加而得到的，也可以看做是“挖”的．

　　 本题第（2）问显然是没有确定答案的，利用已有的或者新创造的轴对称图形，可以组合成无数多个千姿百态的新的轴对称图形．利用直线、等腰三角形、圆等最简单的轴对称图形进行组合更容易些．

　　 解  （1）可以分为两种情况：一种是把几个轴对称图形，或者成轴对称的图形拼凑在一起，使它们有共同的对称轴而形成的．另一种是从一个轴对称图形上去掉一个或几个轴对称图形（或成轴对称的图形），原图形与去掉的部分具有相同的对称轴．

　　（2）无确定答案．如图．

　　说明  以上对这种设计轴对称图形方法的讨论是非常浅显的，有兴趣的读者可以多进行一些探索与交流．比如说，既然通过“拼”与“挖”都能形成新的轴对称图形，那么把“拼”与“挖”结合起来，既“拼”又“挖”行不行呢？读者在设计轴对称图案的过程中可以尽情地发挥自己的创造才能．

选题角度：

　　主要侧重两点：一、有助于训练学生思维；二、有助于学生参与